วิศวะไฟฟ้าเมืองตักศิลา

สมการของแมกซ์เวลล์ (อังกฤษ: Maxwell's equations) ประกอบด้วยสมการ 4 สมการ ตั้งชื่อตาม เจมส์ เคลิร์ก แมกซ์เวลล์(James Clerk Maxwell) โดย โอลิเวอร์ เฮวิไซด์ (Oliver Heaviside) สมการทั้ง 4 นี้ใช้อธิบายถึงพฤติกรรมของ สนามไฟฟ้า และ สนามแม่เหล็ก รวมถึงปฏิกิริยาที่มีต่อสารต่างๆ

รูป อนุพันธ์	รูป ปริพันธ์
กฎของเกาส์ (Gauss' law) :
$abla \cdot \mathbf{D} = \rho$	$\oint_S \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} = \int_V \rho \cdot dV$
กฎของเกาส์สำหรับสนามแม่เหล็ก (ความไม่มีอยู่ ของแม่เหล็กขั้วเดียว) (magnetic monopole) :
$abla \cdot \mathbf{B} = 0$	$\oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = 0$
กฎของฟาราเดย์ (Faraday's law of induction) :
$abla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$	$\oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = - \ { d \over dt } \int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}$
กฎของแอมแปร์ (Ampère's law + Maxwell's extension) :
$abla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t}$	$\oint_C \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = \int_S \mathbf{J} \cdot d \mathbf{A} + {d \over dt} \int_S \mathbf{D} \cdot d \mathbf{A}$

กฎของเกาส์สำหรับสนามแม่เหล็ก (โดยความเป็นจริงเราไม่มีชื่อให้สำหรับกฎข้อนี้) : บอกได้ว่าในชีวิตประจำวันเราจะไม่พบแม่เหล็กซึ่งมีขั้วแยกจากกันโดยชัดเจน นั่นคือเราจะไม่พบแม่เหล็กที่มีขั้วเหนือเพียงขั้วเดียวหรือแม่เหล็กที่มีขั้วใต้เพียงขั้วเดียว
Faraday's Law : สามารถอธิบายจากสมการได้ว่า "สนามไฟฟ้าเกิดจากการเปลี่ยนแปลงของสนามแม่เหล็กในหนึ่งหน่วยเวลาและจะเกิดในทิศหมุนวน (สังเกตจาก operator curl)" ซึ่งจากความรู้เบื้องต้นเราทราบมาว่าสนามไฟฟ้าเกิดจากประจุอิสระ แต่จาก Faraday's Law บอกได้ว่าสนามไฟฟ้าสามารถเกิดจากสนามแม่เหล็กได้เช่นกันแต่ต้องเป็นสนามแม่เหล็กที่เปลี่ยนแปลงตามเวลาเท่านั้น (ถ้าสนามแม่เหล็กไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลาก็จะไม่เกิดสนามไฟฟ้า)
Ampere's Law : สมการรูปนี้เป็นสมการที่ Generalized แล้วโดย Maxwell's อธิบายจากสมการได้คือ "สนามแม่เหล็กเกิดได้จากกระแสไฟฟ้าหรือสนามไฟฟ้าที่เปลี่ยนแปลงในหนึ่งหน่วยเวลาโดยจะเกิดในทิศหมุนวนเช่นกัน" นั่นคือสนามแม่เหล็กเกิดได้จากกระแสไฟฟ้าที่คงที่หรือเกิดได้จากสนามไฟฟ้าที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา (ถ้าสนามไฟฟ้าไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลาก็จะไม่เกิดสนามแม่เหล็ก) โดยที่:

สัญลักษณ์	ความหมาย	หน่วยในระบบเอสไอ
$\mathbf{E}$	สนามไฟฟ้า	โวลต์ ต่อ เมตร
$\mathbf{H}$	ความเข้มสนามแม่เหล็ก	แอมแปร์ ต่อ เมตร
$\mathbf{D}$	ความหนาแน่นฟลักซ์ไฟฟ้า	คูลอมบ์ ต่อ ตารางเมตร
$\mathbf{B}$	ความหนาแน่นฟลักซ์แม่เหล็ก เรียกอีกอย่างว่า การเหนี่ยวนำแม่เหล็ก	เทสลา, เวบเบอร์ ต่อ ตารางเมตร
$\ \rho \$	ความหนาแน่นของประจุไฟฟ้าอิสระ	คูลอมบ์ ต่อ ลูกบาศก์เมตร
$\mathbf{J}$	ความหนาแน่นกระแสไฟฟ้า	แอมแปร์ ต่อ ตารางเมตร
$d\mathbf{A}$	เวกเตอร์ผลต่างเชิงอนุพันธ์ของพื้นผิว A ซึ่งมีขนาดน้อยมากและมีทิศทางตั้งฉากกับพื้นผิว S	ตารางเมตร
$dV \$	ผลต่างเชิงอนุพันธ์ของปริมาตร V ซึ่งล้อมรอบด้วยพื้นผิว S	ลูกบาศก์เมตร
$d \mathbf{l}$	เวกเตอร์ผลต่างเชิงอนุพันธ์ของเส้นสัมผัสเส้นรอบขอบ C ที่ล้อมรอบพื้นผิว S	เมตร

และ

$abla \cdot$ คือ ตัวดำเนินการ ไดเวอร์เจนซ์ (หน่วย SI: 1 ต่อ เมตร)

$abla \times$ คือ ตัวดำเนินการ เคิร์ล (หน่วย SI: 1 ต่อ เมตร)

ความสัมพันธ์ตามคุณสมบัติของเนื้อสาร (constitutive relationships)

ความสัมพันธ์ตามคุณสมบัติของเนื้อสาร หรือ "constitutive relationships" ใช้ในการแสดงถึงพฤติกรรมความสัมพันธ์ของค่าสนามแม่เหล็กไฟฟ้าในเนื้อสารตัวกลาง ในระดับใหญ่ (macroscopic) ซึ่งเป็นการพิจารณาพฤติกรรมโดยเฉลี่ยของสนาม ในสารตัวกลางที่มีปรมาตรที่ใหญ่กว่าขนาดของอะตอม และโมเลกุล โดยความสัมพันธ์นี้จะอยู่ในรูป

$\mathbf{D} = \mathbf{D} ( \mathbf{E},\mathbf{H} )$

$\mathbf{B} = \mathbf{B} ( \mathbf{E},\mathbf{H} )$

$\mathbf{J} = \mathbf{J} ( \mathbf{E},\mathbf{H} )$ (กฎของโอห์ม สำหรับสารตัวนำ)

ลักษณะคุณสมบัติอาจแบ่งตาม
เป็นเชิงเส้น/ไม่เป็นเชิงเส้น (linear/non-linear) : ในสารที่มีคุณสมบัติไม่เป็นเชิงเส้นนั้นความสัมพันธ์ด้านบนที่กล่าวมาจะไม่อยู่ในรูปเชิงเส้น ในกรณีที่เป็นสารที่มีคุณสมบัติเชิงเส้น ความสัมพันธ์ข้างต้นสามารถเขียนอยู่ในรูป

$\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E}$

$\mathbf{B} = \mu \mathbf{H}$

$\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}$

โดยที่

$\varepsilon$ เรียกว่า ค่าความซาบซึมได้ของสนามไฟฟ้า (permittivity หรือ ค่าความสามารถเก็บประจุ (capacitivity)
$μ$ เรียกว่า ค่าความซาบซึมได้ของสนามแม่เหล็ก (permeability) หรือ ค่าความสามารถเหนี่ยวนำ (inductivity)
$σ$ เรียกว่า ค่าความนำไฟฟ้า (conductivity)

เป็นเนื้อเดียว/ไม่เป็นเนื้อเดียว (homogeneous/nonhomogeneous) : สารที่เป็นเนื้อเดียวค่าของคุณสมบัติเนื้อสารจะไม่เปลี่ยนแปลงตามตำแหน่งในเนื้อสาร
ดิสเพอซีฟ/ไม่ดิสเพอซีฟ (dispersive/nondispersive) : สารที่ไม่เป็นดิสเพอซีฟ ค่าคุณสมบัติของเนื้อสารจะไม่เปลี่ยนแปลงตามความถี่ ของสนามที่กระทำกับเนื้อสาร
ไอโซโทรปิค/แอนไอโซโทรปิค (isotropic/anisotropic) : สารที่มีคุณสมบัติไอโซโทรปิค ค่าคุณสมบัติจะไม่ขึ้นกับทิศทางของสนามที่กระทำกับเนื้อสาร ในสารที่มีคุณสมบัติแอนไอโซโทรปิคนั้น ค่าคุณสมบัติจะเขียนอยู่ในรูป เทนเซอร์อันดับ 2 ในสามมิติ (เมทริกซ์ ขนาด3×3)

Guage Invariant

Vector Potential

Lagrangian

Action ของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าโดยไม่มี source นั้นเขียนได้ดังนี้

$S=-\frac{1}{4}\int d^3x F^{\mu u} F_{\mu u}$

โดยที่

$F^{\mu u} = \partial^\mu A^ u - \partial^ u A^\mu$

Euler-Lagrange Equation ของ Action นี้คือ Guass's Law และ Faraday's Law

$\partial_ u F^{\mu u} = 0$

สมการของ maxwell อีกสองสมการสามารถหาได้จาก Bianchi identity.

วิศวะไฟฟ้าเมืองตักศิลา

ภาพจ๊อบรวมๆ 3

ภาพจ๊อบรวมๆ4

ภาพจ๊อบรวมๆ2

วันจันทร์ที่ 31 มกราคม พ.ศ. 2554

ความสัมพันธ์ตามคุณสมบัติของเนื้อสาร (constitutive relationships)

Guage Invariant

Vector Potential

Lagrangian

ไม่มีความคิดเห็น:

แสดงความคิดเห็น